風みどりの詰将棋と関係ない話(21) こんな所に美代子が!

たまには数学の問題を考えて、頭をリラックスさせましょう。
もちろん私が出題するのですから、数学といっても義務教育レベルの問題です。

今日は美代子であることを証明してもらいます。

ここでいう美代子とは
のことではありません。

最小のピタゴラス三角形。3辺の長さの比が\(3:4:5\)である直角三角形のことです。

第1問

正方形を二つ縦に並べる。

直角三角形ABCを描く。

斜辺ABの中点Mをとる。

Mから垂線をひき、ACとの交点をDとする。

BDを結ぶ。

△DCBが美代子であることを示せ

問2

半径9の円と半径16の円を外接させて描き、接点をCとする。

2つの円の共通外接線を引き、接点をそれぞれA、Bとする。

AC、BCを結ぶ。

△ABCが美代子であることを示せ

問3

正方形の折り紙を用意する。

左上の頂点が下辺の中点に重なるようにおる。

色のついた三角形が
美代子であることを示せ

問4

縦横の比が\(2:1\)の長方形を描く。

長方形の外接円を描く。

円周上に\(BA=BC\)となる点をとり、BCを結ぶ。

色のついた三角形が
美代子であることを示せ

解答

要望があれば書きますが、不要でしょう。

今年の都立入試問題を見ていて問4を思いつきました。

問1は問4をシンプルにしたものです。

問2は \(9:16=3^2:4^2\) ですから、いかにも作った問題なのが弱点ですね。

問2と問3は見かけは異なりますが、相似な三角形を下のように並べた形とみれば、実は同じ問題です。

そして問3には中点を使っているので実は問1と同じ、私が傾き2の直角三角形と呼んでいる問1の \(1:2:\sqrt{5}\) の三角形が元になっています。

とすると4問とも実は同じ問題に過ぎないということになりますが、そもそも美代子は傾き2の直角三角形と密接な関係にあるということなのかも知れません。

さらにこの元ネタをばらすと、某掲示板に浦壁さんが貼ってくれた次の問題に帰着します。

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